Bab 2 dalam kurikulum Matematika Kelas 8 biasanya mengupas dua topik fundamental yang saling terkait erat: Pola Bilangan dan Sistem Koordinat Kartesius. Memahami kedua konsep ini dengan baik sangat penting sebagai bekal untuk materi-materi selanjutnya, seperti fungsi linear dan persamaan garis lurus. Ulangan harian atau tengah semester yang mencakup bab ini seringkali menjadi tolok ukur sejauh mana siswa menguasai materi.
Artikel ini akan menyajikan kumpulan contoh soal dan jawaban yang dirancang untuk mencakup berbagai aspek dari Pola Bilangan dan Sistem Koordinat Kartesius. Kami akan berusaha memberikan penjelasan yang mendalam untuk setiap jawaban, sehingga Anda tidak hanya mengetahui "apa" jawabannya, tetapi juga "mengapa" demikian. Tujuannya adalah agar Anda dapat mempersiapkan diri secara optimal untuk menghadapi ulangan, baik sebagai siswa maupun sebagai pendidik yang ingin memberikan latihan tambahan.
Bagian 1: Pola Bilangan
Pola bilangan adalah urutan angka yang memiliki aturan tertentu. Mengidentifikasi aturan ini dan memprediksi suku-suku selanjutnya adalah inti dari topik ini. Kita akan menjelajahi berbagai jenis pola, termasuk pola aritmetika, pola geometri, dan pola lainnya yang lebih kompleks.
Konsep Kunci dalam Pola Bilangan:
- Suku: Setiap angka dalam urutan.
- Beda (untuk barisan aritmetika): Selisih antara dua suku berurutan.
- Rasio (untuk barisan geometri): Hasil bagi antara dua suku berurutan.
- Rumus Suku ke-n: Ekspresi aljabar yang menggambarkan suku ke-n dari suatu barisan.
Contoh Soal 1 (Pola Aritmetika):
Perhatikan barisan bilangan berikut: 3, 7, 11, 15, …
a. Tentukan aturan dari barisan bilangan tersebut.
b. Tentukan suku ke-10 dari barisan bilangan tersebut.
c. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan bilangan tersebut.
Jawaban dan Pembahasan:
a. Menentukan Aturan Barisan:
Untuk menentukan aturan, kita periksa selisih antara suku-suku yang berurutan:
- Suku ke-2 – Suku ke-1 = 7 – 3 = 4
- Suku ke-3 – Suku ke-2 = 11 – 7 = 4
- Suku ke-4 – Suku ke-3 = 15 – 11 = 4
Karena selisihnya konstan, yaitu 4, maka barisan ini adalah barisan aritmetika dengan beda (b) = 4. Aturan barisan ini adalah setiap suku didapatkan dengan menambahkan 4 pada suku sebelumnya.
b. Menentukan Suku ke-10:
Rumus umum untuk suku ke-n pada barisan aritmetika adalah:
$U_n = a + (n-1)b$
di mana:
- $U_n$ adalah suku ke-n
- $a$ adalah suku pertama
- $n$ adalah nomor urut suku
- $b$ adalah beda
Dalam barisan ini, $a = 3$ dan $b = 4$. Kita ingin mencari suku ke-10 ($n=10$).
$U10 = 3 + (10-1) times 4$
$U10 = 3 + (9) times 4$
$U10 = 3 + 36$
$U10 = 39$
Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 39.
c. Menentukan Jumlah 5 Suku Pertama:
Kita dapat langsung menjumlahkan 5 suku pertama yang sudah diketahui dan suku ke-5 yang perlu kita cari terlebih dahulu.
Suku ke-5 = Suku ke-4 + beda = 15 + 4 = 19.
Jumlah 5 suku pertama = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55.
Alternatif lain, kita bisa menggunakan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika:
$S_n = fracn2(a + U_n)$ atau $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$
Menggunakan rumus kedua dengan $n=5$, $a=3$, dan $b=4$:
$S_5 = frac52(2 times 3 + (5-1) times 4)$
$S_5 = frac52(6 + (4) times 4)$
$S_5 = frac52(6 + 16)$
$S_5 = frac52(22)$
$S_5 = 5 times 11$
$S_5 = 55$
Jadi, jumlah 5 suku pertama dari barisan tersebut adalah 55.
Contoh Soal 2 (Pola Geometri):
Perhatikan barisan bilangan berikut: 2, 6, 18, 54, …
a. Tentukan aturan dari barisan bilangan tersebut.
b. Tentukan suku ke-7 dari barisan bilangan tersebut.
Jawaban dan Pembahasan:
a. Menentukan Aturan Barisan:
Kita periksa hasil bagi antara suku-suku yang berurutan:
- Suku ke-2 / Suku ke-1 = 6 / 2 = 3
- Suku ke-3 / Suku ke-2 = 18 / 6 = 3
- Suku ke-4 / Suku ke-3 = 54 / 18 = 3
Karena hasil baginya konstan, yaitu 3, maka barisan ini adalah barisan geometri dengan rasio (r) = 3. Aturan barisan ini adalah setiap suku didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3.
b. Menentukan Suku ke-7:
Rumus umum untuk suku ke-n pada barisan geometri adalah:
$U_n = a times r^n-1$
di mana:
- $U_n$ adalah suku ke-n
- $a$ adalah suku pertama
- $n$ adalah nomor urut suku
- $r$ adalah rasio
Dalam barisan ini, $a = 2$ dan $r = 3$. Kita ingin mencari suku ke-7 ($n=7$).
$U_7 = 2 times 3^7-1$
$U_7 = 2 times 3^6$
$U_7 = 2 times 729$
$U_7 = 1458$
Jadi, suku ke-7 dari barisan tersebut adalah 1458.
Contoh Soal 3 (Pola Lainnya – Pola Persegi):
Perhatikan susunan titik-titik berikut yang membentuk pola:
- Pola 1: • (1 titik)
- Pola 2: • •
• • (4 titik) - Pola 3: • • •
• • •
• • • (9 titik)
a. Tentukan jumlah titik pada pola ke-5.
b. Buatlah rumus umum untuk jumlah titik pada pola ke-n.
Jawaban dan Pembahasan:
a. Menentukan Jumlah Titik pada Pola ke-5:
Kita perhatikan jumlah titik pada setiap pola:
- Pola 1: 1 titik
- Pola 2: 4 titik
- Pola 3: 9 titik
Kita bisa melihat bahwa jumlah titik pada setiap pola adalah kuadrat dari nomor polanya:
- Pola 1: $1^2 = 1$
- Pola 2: $2^2 = 4$
- Pola 3: $3^2 = 9$
Mengikuti pola ini, jumlah titik pada pola ke-5 adalah:
Pola 5 = $5^2 = 25$ titik.
b. Membuat Rumus Umum Jumlah Titik:
Berdasarkan pengamatan pada poin a, rumus umum untuk jumlah titik pada pola ke-n adalah:
$J_n = n^2$
Bagian 2: Sistem Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat Kartesius adalah sebuah sistem yang digunakan untuk menentukan posisi suatu titik dalam sebuah bidang. Sistem ini terdiri dari dua garis bilangan yang saling tegak lurus, yaitu sumbu-x (horizontal) dan sumbu-y (vertikal). Titik perpotongan kedua sumbu disebut titik asal (0,0).
Konsep Kunci dalam Sistem Koordinat Kartesius:
- Titik Asal (Origin): Titik (0,0) tempat sumbu-x dan sumbu-y berpotongan.
- Sumbu-x (Absis): Garis horizontal yang menunjukkan nilai-nilai positif ke kanan dan negatif ke kiri dari titik asal.
- Sumbu-y (Ordinat): Garis vertikal yang menunjukkan nilai-nilai positif ke atas dan negatif ke bawah dari titik asal.
- Pasangan Berurutan (Koordinat): Bentuk (x, y) yang menyatakan posisi suatu titik, di mana ‘x’ adalah nilai pada sumbu-x dan ‘y’ adalah nilai pada sumbu-y.
- Kuadran: Bidang Kartesius terbagi menjadi empat daerah yang disebut kuadran, dinomori I, II, III, dan IV berlawanan arah jarum jam, dimulai dari kuadran kanan atas.
Contoh Soal 4 (Menentukan Posisi Titik):
Gambarkan titik-titik berikut pada bidang Kartesius dan tentukan kuadran tempat titik tersebut berada:
a. A(3, 2)
b. B(-4, 1)
c. C(-2, -5)
d. D(5, -3)
e. E(0, 4)
f. F(-6, 0)
Jawaban dan Pembahasan:
Untuk menggambar titik pada bidang Kartesius, kita mulai dari titik asal (0,0). Gerakkan ke kanan/kiri sesuai nilai x, lalu ke atas/bawah sesuai nilai y.
a. A(3, 2):
- Dari titik asal, bergerak 3 satuan ke kanan (karena x positif).
- Dari posisi tersebut, bergerak 2 satuan ke atas (karena y positif).
- Titik A berada di Kuadran I. (x positif, y positif)
b. B(-4, 1):
- Dari titik asal, bergerak 4 satuan ke kiri (karena x negatif).
- Dari posisi tersebut, bergerak 1 satuan ke atas (karena y positif).
- Titik B berada di Kuadran II. (x negatif, y positif)
c. C(-2, -5):
- Dari titik asal, bergerak 2 satuan ke kiri (karena x negatif).
- Dari posisi tersebut, bergerak 5 satuan ke bawah (karena y negatif).
- Titik C berada di Kuadran III. (x negatif, y negatif)
d. D(5, -3):
- Dari titik asal, bergerak 5 satuan ke kanan (karena x positif).
- Dari posisi tersebut, bergerak 3 satuan ke bawah (karena y negatif).
- Titik D berada di Kuadran IV. (x positif, y negatif)
e. E(0, 4):
- Nilai x adalah 0, artinya tidak bergerak ke kiri atau ke kanan dari titik asal.
- Bergerak 4 satuan ke atas (karena y positif).
- Titik E terletak pada sumbu-y positif. Titik yang terletak pada sumbu tidak termasuk dalam kuadran manapun.
f. F(-6, 0):
- Bergerak 6 satuan ke kiri (karena x negatif).
- Nilai y adalah 0, artinya tidak bergerak ke atas atau ke bawah dari posisi tersebut.
- Titik F terletak pada sumbu-x negatif. Titik yang terletak pada sumbu tidak termasuk dalam kuadran manapun.
Contoh Soal 5 (Hubungan Pola Bilangan dan Koordinat Kartesius):
Sebuah titik P bergerak mengikuti aturan pola bilangan. Suku pertama dari pola bilangan tersebut adalah koordinat x dari titik P, dan suku kedua adalah koordinat y dari titik P. Jika barisan bilangan yang dimaksud adalah barisan aritmetika dengan suku pertama 2 dan beda 3.
a. Tentukan koordinat titik P pada pergerakan ke-3.
b. Jika titik P tersebut digambarkan pada bidang Kartesius, di kuadran manakah titik tersebut berada pada pergerakan ke-5?
Jawaban dan Pembahasan:
Barisan bilangan yang diberikan adalah barisan aritmetika dengan $a = 2$ dan $b = 3$.
Rumus suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$
a. Menentukan Koordinat Titik P pada Pergerakan ke-3:
Koordinat titik P pada pergerakan ke-n adalah $(Un, Un+1)$. Kita perlu mencari $U3$ dan $U3+1 = U_4$.
-
Mencari $U_3$:
$U_3 = 2 + (3-1) times 3$
$U_3 = 2 + (2) times 3$
$U_3 = 2 + 6$
$U_3 = 8$ -
Mencari $U_4$:
$U_4 = 2 + (4-1) times 3$
$U_4 = 2 + (3) times 3$
$U_4 = 2 + 9$
$U_4 = 11$
Jadi, koordinat titik P pada pergerakan ke-3 adalah (8, 11).
b. Menentukan Kuadran Titik P pada Pergerakan ke-5:
Kita perlu mencari koordinat titik P pada pergerakan ke-5, yaitu $(U_5, U_6)$.
-
Mencari $U_5$:
$U_5 = 2 + (5-1) times 3$
$U_5 = 2 + (4) times 3$
$U_5 = 2 + 12$
$U_5 = 14$ -
Mencari $U_6$:
$U_6 = 2 + (6-1) times 3$
$U_6 = 2 + (5) times 3$
$U_6 = 2 + 15$
$U_6 = 17$
Koordinat titik P pada pergerakan ke-5 adalah (14, 17).
Karena nilai x (14) positif dan nilai y (17) positif, maka titik P berada di Kuadran I.
Contoh Soal 6 (Interpretasi Grafik Sederhana):
Perhatikan gambar grafik berikut yang menunjukkan posisi sebuah robot yang bergerak. Titik-titik pada grafik menunjukkan posisi robot setiap detiknya.
(Di sini Anda akan membayangkan sebuah grafik sederhana, atau jika dalam ulangan akan ada gambar grafik yang sebenarnya. Contohnya: Titik (0,0), lalu (1,2), lalu (2,4), lalu (3,6)).
Misalkan titik-titik tersebut adalah P1(0,0), P2(1,2), P3(2,4), P4(3,6).
a. Jelaskan pola gerakan robot berdasarkan koordinat titik-titik tersebut.
b. Tentukan koordinat posisi robot pada detik ke-5.
Jawaban dan Pembahasan:
a. Menjelaskan Pola Gerakan Robot:
Kita lihat pergerakan koordinat dari satu titik ke titik berikutnya:
- Dari P1(0,0) ke P2(1,2): x bertambah 1, y bertambah 2.
- Dari P2(1,2) ke P3(2,4): x bertambah 1, y bertambah 2.
- Dari P3(2,4) ke P4(3,6): x bertambah 1, y bertambah 2.
Pola gerakannya adalah setiap detik, posisi x bertambah 1 dan posisi y bertambah 2. Ini menunjukkan sebuah pola linier. Jika kita perhatikan, nilai y selalu dua kali nilai x.
b. Menentukan Koordinat Posisi Robot pada Detik ke-5:
Mengikuti pola yang diamati, pada detik ke-5:
- Nilai x akan menjadi 5 (karena x bertambah 1 setiap detik, dimulai dari 0).
- Nilai y akan menjadi dua kali nilai x, yaitu $2 times 5 = 10$.
Jadi, koordinat posisi robot pada detik ke-5 adalah (5, 10).
Kesimpulan
Bab 2 Matematika Kelas 8, yang mencakup Pola Bilangan dan Sistem Koordinat Kartesius, merupakan fondasi penting dalam pembelajaran matematika. Menguasai konsep-konsep dasar seperti mengidentifikasi aturan pola, mencari suku ke-n, memahami sumbu-sumbu koordinat, dan menentukan kuadran adalah kunci keberhasilan.
Dengan berlatih berbagai jenis soal seperti yang telah dibahas di atas, diharapkan Anda dapat membangun pemahaman yang kuat dan kepercayaan diri untuk menghadapi ulangan. Ingatlah untuk selalu membaca soal dengan cermat, mengidentifikasi informasi penting, dan menerapkan rumus atau konsep yang relevan.
Teruslah berlatih, dan jangan ragu untuk bertanya jika ada materi yang belum dipahami. Semoga sukses dalam ulangan Anda!
